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Integral DefinidaEdit

Calculo Integral 04 La integral definida17:48

Calculo Integral 04 La integral definida

 ==Concepto de integral definida==

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la 

función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definidaEdit

La integral definida cumple las siguientes propiedades:


  • Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
  • Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
  • La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
  • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
  • Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
  • Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):



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  • Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:====

http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=193c3c96-6fd5-46f8-9d74-b8b2dbbac2dc&groupId=10137&t=1260844945843

lustración gráfica del concepto de integral definida

http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=3cdd6e52-7edd-4c9a-9671-431c3880f672&groupId=10137&t=1260844945843

Función integralEdit

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:

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donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integ

ral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

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Interpretación geométrica de la función integral o función área.

Teorema fundamental del cálculo integralEdit

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

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A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:


  • Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).
  • Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
  • El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=deefea1c-1385-4239-a272-cb0743f529f2&groupId=10137&t=1260844945843

METODOSEdit

Cálculo Integral - Tutorial de Integral Definida-011:50

Cálculo Integral - Tutorial de Integral Definida-0






APLICACIONESEdit

http://www.uoc.edu/in3/e-math/docs/Integral_Definida.pdf



Integral indefinidaEdit

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

http://upload.wikimedia.org/math/c/8/6/c86d9aaf877db0fc326486bf6d397627.png

Ejercicio de integral indefinida - Indefinite integral exercise04:21

Ejercicio de integral indefinida - Indefinite integral exercise

Linealidad de la integral indefinidaEdit

La primitiva es lineal, es decir:


  1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.
  2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:

http://upload.wikimedia.org/math/e/f/c/efca49d71dd139b94a67546550bc9859.png

La primitiva de una función impar es siempre parEdit

En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de fimpar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

Integral_de_funci%C3%B3n_impar.png

La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0Edit

En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Integral_de_funci%C3%B3n_par.png

Relación entre la integral de una función y la de su recíprocaEdit

Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:

Integral_de_la_rec%C3%ADproca.png

PrimitivasEdit

Dada una función f (x), se dice que la función F (x) es primitiva de ella si se verifica que F¿ (x) = f (x). La operación consistente en obtener la primitiva de una función dada se denomina integración, que es la inversa de la derivación.

De esta definición se desprende que la función f (x) posee infinitas primitivas, ya que si F (x) es primhtiva de f (x), también lo será cualquier otra función definida como G (x) = F (x) + C, siendo C un valor constante.

El conjunto de todas las primitivas de una función f (x) dada se denomina integral indefinida de la función, y se denota genéricamente como:

http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=34dbb5b7-1ebf-49eb-bd5d-bab35ac5af70&groupId=10137&t=1260844998031

Las primitivas de una función forman una familia de curvas desplazadas verticalmente unas de otras. Así, la función f (x) = x tiene infinitas primitivas que difieren en una constante, tal como se muestra a la derecha.

Cómo verificar el resultado de una integral indefinida - HD02:34

Cómo verificar el resultado de una integral indefinida - HD

Propiedades de las primitivasEdit

Aplicando las propiedades de la derivación (ver t43), es posible determinar algunas propiedades comunes de la integración. Las siguientes propiedades de linealidad sirven para descomponer integrales complicadas en otras más sencillas:


  • La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.









http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=f0f07f71-e130-4f64-a326-f4077b80d9b5&groupId=10137&t=1260844998031



Tabla de integrales inmediatasEdit

En la tabla siguiente se resumen las reglas de integración de algunas funciones comunes. En general, se llama integrales inmediatas a las que se deducen directamente de esta tabla y de las propiedades de linealidad de la integración.

http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=3f151c65-56f7-45ad-a6ef-9f0db89e803c&groupId=10137&t=1260844998031

Tabla de integrales inmediatas.

LAS PRINCIPALES FUNCIONES PRIMITIVAS

http://upload.wikimedia.org/math/4/a/0/4a0f5de1fc070305a45dde9de8e7650c.png


Métodos de integraciónEdit

Artículo principal: Métodos de integración

Tenemos varios métodos a nuestra disposición:


APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDAEdit

Aplicación de la Integral Indefinida-Simulación 109:57

Aplicación de la Integral Indefinida-Simulación 1

http://web.mat.bham.ac.uk/j.a.canizo/docencia/Aplicaciones_de_la_integral.nb.pdf

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